La matemática ante el nuevo milenio

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En mayo de 1992, en Río de Janeiro, Brasil, la Unión Matemática Internacional (constituida por 7 distinguidos matemáticos) propuso al año 2000 como el Año Internacional de la Matemática. La declaración oficial establecía tres temas de reflexión:
   1. Los grandes retos del siglo XXI.
   2. La matemática como clave del desarrollo.
   3. La imagen de la matemática.
Tiempo después, en una reunión plenaria de la Conferencia General, la UNESCO apoyó la declaración de Río de Janeiro y por medio de un documento oficial invitó al mundo entero para que en el inicio del nuevo milenio vuelva su mirada a la matemática.
Aunque este artículo no tiene relación alguna con la UNESCO, sí quisiera aprovechar la célebre ocasión del año cero del nuevo milenio dedicado a la matemática para hacer algunas reflexiones. No trataré de contestar la pregunta: ¿qué es la matemática?, pues, entre otras razones, la única manera de dar algún tipo de respuesta sería mostrando algo de lo que se hace en matemáticas (y éste no es el lugar para hacerlo). Tampoco trataré de justificar su existencia (pues tampoco es el lugar ni lo haría en ningún otro). Ni siquiera trataré de convencer al lector de que la matemática es la ciencia más noble, bella y emocionante que existe (pues es un hecho que lo es). Mi intención es simplemente aprovecharme del llamado de la UNESCO y utilizaré parte de su documento oficial para reflexionar sobre la matemática.

MATEMÁTICA ¿PURA O APLICADA?

Considerando de central importancia la matemática y sus aplicaciones en el mundo de hoy, sobre todo en la ciencia, la tecnología, las comunicaciones, la economía y otros numerosos campos
El documento comienza resaltando las aplicaciones de la matemática en el mundo de hoy. Y es un hecho: los avances tecnológicos del siglo XX no se entenderían sin el desarrollo de las herramientas matemáticas que ayudaron a imaginarlos y crearlos. Desde los proyectos de los puentes colgantes (como el Golden Gate en San Francisco) durante la primera mitad del siglo XX, hasta las naves espaciales en la segunda mitad del siglo, existen muchos logros científicos y tecnológicos, cuya concepción y puesta en marcha han sido apoyadas por miles de ecuaciones matemáticas.
Aunque las aplicaciones de la matemática son el primer punto del documento de la UNESCO, no por ello es el más importante. La matemática no existe por sus aplicaciones y los resultados que produce en la tecnología, la economía, etcétera. En un sentido muy amplio, la matemática es simplemente una parte de la actividad intelectual del ser humano.
El hombre no piensa sobre la belleza de las cosas a su alrededor por las aplicaciones de esos pensamientos en su vida cotidiana. Tampoco dedica horas a escuchar a Bach o a Mozart buscando con esto repercusiones prácticas. Lo hace simplemente porque estas actividades son inherentes a la naturaleza humana. La matemática es también una de ellas y no hay por qué cuestionar sobre las utilidades que pueda rendir. Ciertamente, las aplicaciones derivadas de la matemática refuerzan su importancia, pero su existencia no queda subordinada a los frutos prácticos que produce. Dice el matemático inglés Ian Stewart: «La matemática es bonita, intelectualmente estimulante ¾ incluso útil». Muchos compartimos este punto de vista e incluso en las escuelas de Ingeniería, donde se estudia la matemática simplemente como herramienta para entender ciertos fenómenos (físicos, económicos, financieros, etcétera) de relevancia para la vida práctica, es posible transmitir a los estudiantes la belleza per se de estas teorías: ningún estudiante sensato, por más pragmático que sea, podrá negar la belleza del cristalino argumento que demuestra el Teorema de la Dimensión estudiado en su curso de Álgebra Lineal, o la maravillosa generalización del Teorema Fundamental del Cálculo que establece el Teorema de Stokes, estudiado en su curso de Cálculo Vectorial.
Lo anterior nos lleva a la popular discusión sobre la separación de la matemática en «pura» y «aplicada». En términos generales, se piensa que en la primera se trabaja por el puro placer intelectual que produce, con un motor impulsado meramente por un lart pour lart, mientras que en la segunda se trabaja siempre en aras de los frutos prácticos. Ciertamente, algunas partes de la matemática fácilmente se pueden colocar en una de estas divisiones. Por ejemplo, la Teoría de Sistemas Dinámicos es buena representante de la matemática aplicada, pues todo lo que estudia es motivado y tiene repercusiones en el entendimiento del movimiento de los planetas (entre otras cosas), mientras que la parte de la matemática conocida como Teoría de Números es buena representante de la matemática pura: los difíciles teoremas sobre números primos que se han demostrado y los que aún quedan por demostrar, son retos que los matemáticos enfrentan sin pensar en que vayan a tener aplicación práctica alguna.
En muchas otras áreas de la matemática no existe, sin embargo, una visión tan clara de si pertenecen a la parte pura o a la aplicada. Por ejemplo, algunas partes del Análisis Matemático (más concretamente del Análisis Funcional): varios de sus resultados han surgido por la necesidad de explicar ciertas ecuaciones diferenciales de la mecánica cuántica (por lo que sería parte de la matemática aplicada), pero otros han sido producidos por el puro interés de generalizar (a situaciones con un grado de abstracción desligado de cualquier conexión con las aplicaciones) los teoremas sobre las ecuaciones diferenciales mencionadas anteriormente (en este contexto el Análisis Matemático sería parte de la matemática pura).
La división de la matemática entre pura y aplicada es más confusa en los cursos elementales sobre esta ciencia. Muchos estudiantes argumentan en contra de esta disciplina que su estudio exige cuestionarse si aquello que están aprendiendo es «práctico» (lo preocupante es que es una postura generalizada, incluso dentro de algunas autoridades educativas). Palabras como «aplicaciones» o «práctica» son, en este contexto, completamente relativas y no tiene sentido que un alumno (que empieza a aprender esta ciencia) exija que se le enseñe «matemáticas prácticas» o «con aplicaciones».
Cada vez que recuerdo este tipo de discusiones (que evito sistemáticamente por considerarlas inútiles), viene a mi mente el pasaje en el que, estando Euclides enseñando geometría a un discípulo, éste lo cuestionó sobre la utilidad de adquirir aquellos conocimientos, Euclides llamó a un esclavo y le dijo: «Dadle tres monedas, pues según dice, todo lo que aprende le debe rendir un beneficio». Hace tiempo tuve un alumno que encontró una bonita aplicación de la Braquistócrona (curva por la cual debe rodar libremente un cuerpo para que le tome el menor tiempo ir de un punto dado a otro que se encuentra a menor altura que el primero). Al llegar a una fiesta, se unió a un grupo de amigos y preguntó a una chica: ¿tú qué opinas de la Braquistócrona? Ella, al no saber qué contestar, le ofreció otro trago, el cual aceptó con gusto. De este modo, explicaba el alumno, la Braquistócrona tuvo una gran aplicación práctica en su vida: le dio la oportunidad de conseguir un nuevo trago en la fiesta.
El documento de la UNESCO no menciona la separación entre matemática pura y aplicada, habla simplemente de «la matemática y sus aplicaciones». Ésta es, creo yo, la mejor manera de terminar con la controversia de la pureza o impureza, de lo abstracto o lo aplicado, de lo útil o lo inútil de la matemática.
PARADOJAS Y PRECISIONES
En otra parte del documento de la UNESCO se lee: Reconocer que el lenguaje y los valores de la matemática son universales…
En efecto, el lenguaje de la matemática es universal, no sólo en el sentido natural de esta afirmación, sino también en el sentido de que la matemática es el lenguaje del universo: uno de los principales canales de entendimiento entre el universo y el ser humano. Muchos avances de la humanidad en la comprensión del cosmos han sido gracias a nuevos desarrollos en la matemática. Galileo decía que: «La filosofía está escrita en este gran libro que continuamente está abierto delante de nuestros ojos [yo digo el universo], pero no se puede entender si primero no se entiende la lengua, y se conocen los caracteres con los cuales está escrito. Él está escrito en lengua matemática…».
Una característica esencial de este lenguaje, es que es preciso. La matemática no acepta ideas intuitivas ni concepciones aproximadas: los conceptos e ideas que establece deben estar definidos con precisión (lo cual no significa que las ideas intuitivas no importan, de hecho son necesarias para dar los primeros pasos en el entendimiento de esta ciencia; lo que decimos es que con ideas intuitivas no se pueden construir las teorías matemáticas). En ocasiones no es tarea simple. En el desarrollo que la matemática ha tenido hasta nuestros días no todo ha sido color de rosa. Una de las etapas difíciles por las que ha pasado se relaciona, justamente, con el trabajo de hacer de la matemática un lenguaje preciso. Me refiero a la crisis en la que se vio envuelta a principios del siglo XX, una de cuyas repercusiones fue la incorporación del lenguaje de los conjuntos como parte esencial de los contenidos matemáticos en los planes de estudio de las escuelas de educación primaria (primero en Estados Unidos y luego en el resto del mundo). «Conjunto» se piensa (de manera intuitiva) en matemáticas como en el lenguaje común: un conjunto (de objetos) es una colección (de objetos). Previo a la crisis mencionada, los matemáticos trabajaban con esta idea intuitiva, pero en la transición del siglo XIX al XX algunos matemáticos brillantes, como Bertrand Russell y George Cantor, se dieron cuenta que este asunto no era tan simple como parecía. Las primeras señales de advertencia sobre la tormenta que se avecinaba acerca de la consistencia de las ideas alrededor de los conjuntos, fueron las célebres «paradojas» (razonamientos que obligan a concluir contradicciones). Presento a continuación dos de las más famosas. La primera, conocida como «la paradoja de Russell», se puede explicar de la siguiente manera:
Suponga que usted es el encargado de una gran biblioteca (aquí empieza la tragedia: se involucra un conjunto de libros) en la que se encuentra una sección de catálogos (en términos de conjuntos diríamos que el conjunto de los libros de la biblioteca tiene un «subconjunto» formado por catálogos). Al revisar los catálogos usted se percata de que algunos se incluyen a sí mismos (por ejemplo, un catálogo de libros de referencias se incluye a sí mismo, pues también es un libro de referencias) y otros no (por ejemplo, un catálogo de libros de matemáticas no se incluye a sí mismo pues no es un libro de matemáticas). Entonces, usted decide hacer un catálogo ¾ llamado C¾ en el que se listen todos los catálogos que no se incluyen a sí mismos (como los de poesía, biología, etcétera). El problema que debe enfrentar ahora, es si C deberá incluirse a sí mismo o no. Y siento decirle, estimado lector, que está frente a un grave problema, pues cualquier decisión que tome lo llevará a un absurdo. Si decide incluir C en sí mismo, no debería aparecer en el listado que contiene (pues abarca sólo los catálogos que no se incluyen a sí mismos;es decir, C no debería estar incluido en sí mismo, contradiciendo la decisión que había tomado. La otra alternativa es que el catálogo C no se incluya a sí mismo, pero como debe contener todos los catálogos que no se incluyen a sí mismos, el mismo C debería estar incluido en él.
Poco tiempo después apareció otra paradoja, conocida como «la paradoja de las palabras», en la que la validez de las afirmaciones matemáticas se ponía en entredicho: había números que podían existir y no existir al mismo tiempo. El asunto resulta muy atractivo (por la terrible conclusión a la que se llega): cada número natural (números que sirven para contar objetos, como uno, dos, veinte, mil) se puede describir con palabras distintas. Por ejemplo, 10 puede describirse como: «diez» (se usan 4 letras), «número natural que sigue del nueve» (29 letras), «número natural que antecede al o­nce» (30 letras), o con descripciones más complicadas: «número natural que si se multiplica por mil y se le suman trescientos mil cuatrocientos veinte da por resultado trescientos diez mil cuatrocientos veinte» (en la que se usan 130 letras). El número 10 es entonces un número que se puede describir usando menos de 100 letras (aunque existan descripciones de 100 o más letras). Centremos nuestra atención en el conjunto formado por todos los números naturales que, como el 10, se pueden describir usando menos de 100 letras. Hay números como 128,795347,899, cuya descripción más simple («ciento veintiocho mil setecientos noventa y cinco millones trescientos cuarenta y siete mil ochocientos noventa y nueve») emplea más de 100 letras (el lector puede contarlas: son 103), de tal manera que solamente algunos números están en el conjunto considerado. Si empezamos a revisar en orden cada número, 1, 2, 3…, para ver si pertenece o no al conjunto, podríamos escribir resultados del tipo número -> respuesta, como: 1 -> sí, 2 -> sí, 3 -> sí, etcétera. Continuando de esta manera, es claro que habrá una primera vez en que encontraremos un número n con resultado n -> no (por ejemplo, 128,795347,899 ® no). Así pues, hemos concluido que EXISTE el número más pequeño que no se puede describir con menos de cien letras. Pero… ¡lo estamos describiendo con menos de cien letras! (fueron 59 letras las usadas en la última frase). Es decir, en realidad tal número NO EXISTE.
Éstas y otras paradojas obligaron a los matemáticos a revisar mejor el significado de las palabras e ideas involucradas en ellas, buscando detectar dónde estaba el error del razonamiento. Producto de esta crisis nació una nueva teoría matemática, conocida como Teoría de Conjuntos, en la que se establece con precisión lo que se debe entender por conjunto, y lo que se puede y no se puede hacer con ellos. No es extraño que en algún momento Russell (uno de los principales «culpables» de la crisis) escribiera: «La matemática se puede definir como la ciencia en la que nunca sabemos acerca de lo que estamos hablando ni si lo que estamos diciendo es verdad». Sin embargo, después él mismo se refirió a la matemática de la siguiente manera: «La matemática, vista correctamente, posee no solamente verdad, sino suprema belleza ¾ una belleza fría y austera, como la de una escultura, sin referencia alguna acerca de nuestra naturaleza débil, sin la suntuosa ornamentación de la pintura o de la música, pero más sublimemente pura y capaz de una severa perfección como sólo el gran arte puede mostrar».
MAJESTUOSA ENTRADA AL SIGLO XXI
Pero así como el siglo XX vio en sus inicios una terrible crisis, en su última década vio una de las páginas más gloriosas que se haya escrito en esta ciencia, al menos durante los últimos tres siglos: el problema matemático más antiguo (planteado 350 años antes) fue resuelto en 1993.
La historia comienza con el matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665), estudioso de lo que ahora conocemos como Teoría de Números. Uno de sus libros favoritos fue el texto griego Arithmetica de Diofanto, en el que se consideraban cierto tipo de ecuaciones cuyas soluciones eran números enteros positivos. Ecuaciones tan simples como: «la suma de un número más otro número es igual a un tercer número», o un poco más complicadas: «la suma del cuadrado de un número más el cuadrado de otro número es igual al cuadrado de un tercer número». Esta última no es más que el famoso Teorema de Pitágoras («en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos»), de modo que, dando el valor de 3 al primer número, de 4 al segundo y de 5 al tercero se resuelve la ecuación (pues el cuadrado de 3 más el cuadrado de 4 es igual al cuadrado de 5). Y si en lugar de «cuadrado» escribimos «cubo», «cuarta potencia» o, en general, cualquier potencia de los números involucrados, ¿habrá solución de la ecuación? Fermat se planteó esta pregunta hace más de tres siglos, y creyó tener la respuesta, pues en su libro original de Diofanto escribió una nota al margen: Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividire, cujus rei demonstrationem mirabilem sana detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet («Es imposible que un cubo sea igual a la suma de dos cubos, una cuarta potencia sea igual a la suma de dos cuartas potencias, o, en general, que cualquier número que es una potencia mayor que dos sea la suma de dos números de esa forma. He encontrado una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición para la cual este margen es demasiado estrecho»). Así pues, Fermat afirmaba que la ecuación «la potencia n de un número más la potencia n de otro número es igual a la potencia n de un tercer número» no tenía solución si el valor de n era mayor a 2, y aún más, que tenía una «demostración maravillosa» que por lo estrecho del margen no incluía. Cuando murió, los matemáticos se preguntaron cuál era tal demostración maravillosa que decía tener. Este problema fue llamado «el último teorema de Fermat» (se le dio el nombre de «teorema» porque Fermat decía tener su demostración, pero en realidad era solamente una conjetura). Y así nació uno de los más grandes mitos, retos y obsesiones que tendría el mundo de la matemática durante los siguientes tres siglos.
Mentes brillantes, como el matemático suizo L. Euler en el siglo XVIII (el matemático más importante de ese siglo) y el matemático alemán K. F. Gauss en el siglo XIX (uno de los más destacados de todos los tiempos, conocido como «el Príncipe de las Matemáticas»), solamente obtuvieron resultados parciales de la anhelada demostración (pudieron demostrar que la afirmación de Fermat era válida para algunos valores de la potencia n). En 1993, el matemático inglés Andrew Willes dio por concluida esta historia. Su demostración del último teorema de Fermat es (según dicen los especialistas) un buen ejemplo de la potencia de la matemática del siglo XX, pues incluye herramientas de muchas áreas desarrolladas en este siglo (como la Geometría Algebraica, la Teoría de Galois y la Teoría de Números).
Acerca de «los valores» de la matemática a los que se refiere el documento de la UNESCO, dejamos que el matemático Morris Kline diga al respecto: «Los valores de la matemática están ahí: valores al menos tan grandes como los de cualquier creación humana… Si el ascenso para alcanzarlos es más arduo que en la música (por ejemplo), las recompensas son mucho más ricas, porque éstas incluyen casi todos los valores intelectuales, estéticos y emocionales que cualquier creación humana pueda ofrecer».
La historia de la ciencia matemática se suele dividir en cuatro etapas: (1) los babilonios (donde se reconocen los primeros indicios de razonamientos matemáticos en el hombre), (2) los griegos ( «nace oficialmente» la matemática como la concebimos actualmente), (3) la época de Newton (localizada alrededor del siglo XVII, que representa un punto de partida para el vertiginoso desarrollo posterior), y (4) la etapa actual, que algunos llaman «la era dorada de la matemática». La manera gloriosa como se cerró la historia de la matemática en el siglo XX con la demostración del último teorema de Fermat, que justifica de sobra el calificativo de «dorada», plantea interrogantes sobre los alcances que se esperan para este nuevo siglo y para el nuevo milenio. ¿Se abrirá una quinta etapa del desarrollo de la matemática en el siglo XXI? ¿Habrá computadoras que resuelvan cualquier problema matemático que el hombre se pueda plantear? ¿Se limitará el estudio de la matemática a una élite de intelectuales o se abrirá con nuevos planteamientos que resulten alcanzables a cualquier ser humano? No creo que existan respuestas absolutas a estas preguntas, pero es claro lo significativo del llamado de la UNESCO a reflexionar sobre el papel que juega esta ciencia en el desarrollo de la civilización actual: aunque no sabemos con certeza cómo llegará a influir la matemática en la vida del hombre del tercer milenio, sí podemos estar seguros que seguirá mostrando su majestuosidad y conservará su escenario protagónico en la actividad intelectual del ser humano de éste y los siglos y milenios que siguen.

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